1 Πολυωνυμική και άλλων συναρτήσεων παλινδρόμηση

Η γραμμική παλινδρόμηση (βλ. ενότητες Γραμμική παλινδρόμηση και Ποσοστημοριακή παλινδρόμηση) μάς παρέχουν απλές εκφράσεις, αλλά όχι τις καλύτερες δυνατές προσεγγίσεις, όπως είδαμε. Μία λελογισμένη έκπτωση στην απλότητα, ώστε ν’ αυξηθεί η ακρίβεια, μπορούμε να πετύχουμε ψάχνοντας μια πολυωνυμική έκφραση της μίας μεταβλητής συναρτήσει της άλλης.

Εδώ, όπως και στις προαναφερθείσες ενότητες, θα χρησιμοποιήσουμε δεδομένα του OECD για τον αριθμό των γιατρών και των νοσοκόμων ανά χίλιους κατοίκους. Αυτά, όπως είπαμε, αποθηκεύτηκαν στα αρχεία doctorsPer1000.csv και nurcesPer1000.csv και τα παρουσιάζουμε, αφού πρώτα διαγράψουμε ό,τι είχαμε αποθηκεύσει.

rm(list = ls())

doctorsPer1000.csv

LOCATION	INDICATOR	SUBJECT	MEASURE	FREQUENCY	TIME	Value	Flag.Codes
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1961	1.13	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1964	1.23	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1965	1.22	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1966	1.23	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1967	1.26	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1968	1.24	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1969	1.26	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1970	1.33	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1971	1.26	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1972	1.38	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1973	1.35	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1974	1.42	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1975	1.48	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1976	1.64	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1977	1.65	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1978	1.85	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1979	1.78	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1980	1.85	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1981	1.86	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1982	1.90	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1983	1.95	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1984	1.83	B
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1985	1.91	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1986	2.01	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1987	2.06	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1988	2.10	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1989	2.14	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1990	2.17	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1991	2.33	B
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1992	2.37	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1993	2.40	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1994	2.44	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1995	2.48	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1996	2.40	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1997	2.40	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1998	2.40	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1999	2.45	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2000	2.49	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2001	2.56	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2002	2.56	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2003	2.63	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2004	2.71	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2005	2.78	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2006	2.84	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2007	3.01	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2008	3.02	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2009	3.12	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2011	3.32	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2012	3.31	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2013	3.37	NA
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2014	3.45	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2015	3.51	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2016	3.58	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2017	3.68	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2018	3.75	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2019	3.83	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2020	3.91	E
AUS	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2021	4.02	E
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1960	1.59	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1961	1.58	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1962	1.57	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1963	1.56	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1964	1.56	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1965	1.56	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1966	1.57	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1967	1.58	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1968	1.60	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1969	1.63	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1970	1.67	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1971	1.70	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1972	1.71	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1973	1.76	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1974	1.81	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1975	1.87	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1976	1.95	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1977	2.01	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1978	2.07	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1979	2.14	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1980	2.21	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1981	2.27	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1982	2.33	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1983	2.42	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1984	2.50	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1985	2.57	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1986	2.67	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1987	2.70	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1988	2.80	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1989	2.90	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1990	3.01	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1991	3.09	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1992	3.21	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1993	3.30	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1994	3.41	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1995	3.51	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1996	3.58	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1997	3.66	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1998	3.77	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1999	3.77	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2000	3.85	NA
AUT	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2001	3.96	NA

nurcesPer1000.csv

LOCATION	INDICATOR	SUBJECT	MEASURE	FREQUENCY	TIME	Value	Flag.Codes
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1980	10.33	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1981	9.91	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1982	9.85	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1983	9.87	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1984	9.91	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1985	9.55	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1986	10.92	B
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1987	11.37	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1988	11.60	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1989	11.72	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1990	11.63	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1991	12.08	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1992	11.57	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1993	11.10	B
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1994	11.50	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1995	10.84	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1996	10.83	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1997	10.41	B
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1998	10.30	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	1999	10.17	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2000	10.07	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2001	9.95	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2002	9.94	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2003	9.94	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2004	10.21	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2005	9.76	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2007	10.20	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2008	10.30	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2009	10.18	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2011	10.19	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2012	10.22	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2013	11.12	NA
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2014	11.28	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2015	11.39	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2016	11.57	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2017	11.69	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2018	11.93	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2019	12.23	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2020	12.28	E
AUS	NURSE	TOT	1000HAB	A	2021	12.81	E
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1985	3.41	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1986	3.56	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1987	3.69	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1988	3.67	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1989	3.82	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1990	3.91	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1991	4.02	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1992	4.19	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1993	4.43	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1994	4.75	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1995	4.95	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1996	5.06	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1997	5.19	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1998	5.27	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	1999	5.42	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2000	5.55	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2001	5.58	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2002	5.68	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2003	5.68	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2004	5.93	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2005	5.99	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2006	6.14	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2007	6.21	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2008	6.36	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2009	6.47	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2010	6.53	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2011	6.62	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2012	6.65	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2013	6.69	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2014	6.79	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2015	6.80	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2016	6.77	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2017	6.85	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2018	6.85	D
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2019	10.30	B
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2020	10.32	NA
AUT	NURSE	TOT	1000HAB	A	2021	10.60	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2003	8.51	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2004	8.51	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2005	8.73	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2006	8.84	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2007	9.04	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2008	9.16	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2009	9.32	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2010	9.37	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2011	9.29	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2012	9.40	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2013	9.54	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2014	9.81	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2015	9.91	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2016	9.96	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2017	10.00	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2018	9.95	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2019	9.98	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2020	10.06	NA
CAN	NURSE	TOT	1000HAB	A	2021	10.25	NA
CZE	NURSE	TOT	1000HAB	A	1980	5.95	NA
CZE	NURSE	TOT	1000HAB	A	1981	6.09	NA
CZE	NURSE	TOT	1000HAB	A	1982	6.26	NA
CZE	NURSE	TOT	1000HAB	A	1983	6.41	NA

Θέλουμε να δούμε αν μπορούμε να εκφράσουμε τους γιατρούς ως ένα πολυώνυμο τετάρτου βαθμού με μεταβλητή τις νοσοκόμες, να επιτύχουμε την πολυωνυμική παλινδρόμηση τετάρτου βαθμού. Δηλαδή να έχουμε κάτι τέτοιο:

\[[giatroi]=\alpha+\beta\cdot[nosok]+\gamma\cdot[nosok]^2+\delta\cdot[nosok]^3+\varepsilon\cdot[nosok]^4\]

Αρχικά αυτά ενοποιήθηκαν, κατά τα γνωστά (βλ. υποενότητα «Συγχώνευση πινάκων δίπλα-δίπλα» της Προσθήκη στοιχείων σε πίνακα), γράφοντας:

DocNurc <- merge(doctorsPer1000,nurcesPer1000,by=c("LOCATION","TIME"))

LOCATION	TIME	INDICATOR.x	SUBJECT.x	MEASURE.x	FREQUENCY.x	Value.x	Flag.Codes.x	INDICATOR.y	SUBJECT.y	MEASURE.y	FREQUENCY.y	Value.y	Flag.Codes.y
AUS	1980	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.85	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.33	NA
AUS	1981	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.86	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.91	NA
AUS	1982	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.90	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.85	NA
AUS	1983	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.95	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.87	NA
AUS	1984	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.83	B	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.91	NA
AUS	1985	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.91	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.55	NA
AUS	1986	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.01	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.92	B
AUS	1987	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.06	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.37	NA
AUS	1988	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.10	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.60	NA
AUS	1989	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.14	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.72	NA
AUS	1990	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.17	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.63	NA
AUS	1991	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.33	B	NURSE	TOT	1000HAB	A	12.08	NA
AUS	1992	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.37	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.57	NA
AUS	1993	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.40	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.10	B
AUS	1994	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.44	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.50	NA
AUS	1995	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.48	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.84	NA
AUS	1996	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.40	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.83	NA
AUS	1997	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.40	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.41	B
AUS	1998	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.40	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.30	NA
AUS	1999	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.45	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.17	NA
AUS	2000	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.49	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.07	NA
AUS	2001	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.56	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.95	NA
AUS	2002	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.56	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.94	NA
AUS	2003	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.63	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.94	NA
AUS	2004	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.71	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.21	NA
AUS	2005	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.78	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.76	NA
AUS	2007	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.01	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.20	NA
AUS	2008	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.02	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.30	NA
AUS	2009	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.12	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.18	NA
AUS	2011	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.32	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.19	NA
AUS	2012	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.31	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.22	E
AUS	2013	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.37	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.12	NA
AUS	2014	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.45	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.28	E
AUS	2015	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.51	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.39	E
AUS	2016	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.58	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.57	E
AUS	2017	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.68	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.69	E
AUS	2018	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.75	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.93	E
AUS	2019	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.83	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	12.23	E
AUS	2020	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.91	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	12.28	E
AUS	2021	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.02	E	NURSE	TOT	1000HAB	A	12.81	E
AUT	1985	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.57	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	3.41	D
AUT	1986	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.67	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	3.56	D
AUT	1987	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.70	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	3.69	D
AUT	1988	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.80	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	3.67	D
AUT	1989	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.90	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	3.82	D
AUT	1990	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.01	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	3.91	D
AUT	1991	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.09	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	4.02	D
AUT	1992	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.21	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	4.19	D
AUT	1993	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.30	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	4.43	D
AUT	1994	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.41	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	4.75	D
AUT	1995	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.51	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	4.95	D
AUT	1996	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.58	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.06	D
AUT	1997	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.66	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.19	D
AUT	1998	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.77	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.27	D
AUT	1999	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.77	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.42	D
AUT	2000	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.85	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.55	D
AUT	2001	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.96	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.58	D
AUT	2002	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.03	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.68	D
AUT	2003	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.11	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.68	D
AUT	2004	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.20	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.93	D
AUT	2005	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.32	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	5.99	D
AUT	2006	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.45	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.14	D
AUT	2007	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.52	B	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.21	D
AUT	2008	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.59	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.36	D
AUT	2009	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.67	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.47	D
AUT	2010	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.77	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.53	D
AUT	2011	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.82	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.62	D
AUT	2012	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.87	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.65	D
AUT	2013	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	4.96	B	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.69	D
AUT	2014	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.02	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.79	D
AUT	2015	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.06	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.80	D
AUT	2016	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.11	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.77	D
AUT	2017	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.16	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.85	D
AUT	2018	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.22	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	6.85	D
AUT	2019	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.29	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.30	B
AUT	2020	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.32	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.32	NA
AUT	2021	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	5.41	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.60	NA
BEL	2004	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.87	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	8.79	E
BEL	2005	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.87	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.01	E
BEL	2006	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.89	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.12	E
BEL	2007	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.91	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.24	E
BEL	2008	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.92	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.32	E
BEL	2009	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.92	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.42	NA
BEL	2010	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.92	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.59	E
BEL	2011	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.92	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	9.81	E
BEL	2012	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.93	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.02	E
BEL	2013	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.96	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.30	E
BEL	2014	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	2.98	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.58	E
BEL	2015	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.02	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.83	E
BEL	2016	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.07	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	10.96	B
BEL	2017	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.08	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.22	NA
BEL	2018	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	3.13	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	11.07	NA
BRA	2007	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.30	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.50	NA
BRA	2008	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.41	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.56	NA
BRA	2009	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.46	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.61	NA
BRA	2010	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.52	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.67	NA
BRA	2011	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.50	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.73	NA
BRA	2012	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.55	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.80	NA
BRA	2013	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.62	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.88	NA
BRA	2014	MEDICALDOC	TOT	1000HAB	A	1.71	NA	NURSE	TOT	1000HAB	A	0.97	NA

και ακολούθως ορίζουμε:

giatroi <- DocNurc$Value.x
nosok <- DocNurc$Value.y

Για να βρούμε τους αριθμούς \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) και \(\varepsilon\) γράφουμε:

lm(giatroi ~ nosok + I(nosok^2) + I(nosok^3)+I(nosok^4))

## 
## Call:
## lm(formula = giatroi ~ nosok + I(nosok^2) + I(nosok^3) + I(nosok^4))
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        nosok   I(nosok^2)   I(nosok^3)   I(nosok^4)  
##   -0.298571     1.430165    -0.207341     0.012481    -0.000258

Όπερ σημαίνει ότι:

\(\alpha=-0.298571\)
\(\beta=1.430165\)
\(\gamma=-0.207341\)
\(\delta=0.012481\)
\(\varepsilon=-0.000258\)

Επομένως:

\[[giatroi]=-0.298571+1.430165\cdot[nosok]-0.207341\cdot[nosok]^2+0.012481\cdot[nosok]^3-0.000258\cdot[nosok]^4\]

Αν δοκιμάσουμε τώρα να δούμε των πρόβλεψη του αριθμού των γιατρών, στην περίπτωση που έχουμε 2.23 νοσοκόμους ανά χίλιους κατοίκους, τότε έχουμε:

\[-0.298571+1.430165\cdot2.23-0.207341\cdot2.23^2+0.012481\cdot2.23^3-0.000258\cdot2.23^4=1.9916\]

Δηλαδή περίπου 2 γιατρούς ανά χίλιους κατοίκους.

Για να σχεδιάσουμε την πολυωνυμική παλινδρόμηση θα χρειαστούμε πάλι το πακέτο ggplot2, οπότε γράφουμε:

if(!require(ggplot2)){
    install.packages("ggplot2")
    library(ggplot2)
}

και ακολούθως:

DocNurcPl <- ggplot(DocNurc, aes(x = Value.y, y = Value.x))
DocNurcPl + geom_point() + geom_smooth(method = lm, formula = y ~ x+I(x^2)+I(x^3)+I(x^4))

Στα παραπάνω θελήσαμε να βρούμε ένα πολυώνυμο 4ου βαθμού που να παρεμβάλλεται μεταξύ των πραγματικών τιμών. Φυσικά στη θέση του πολυωνύμου θα μπορούσαμε να διαλέξουμε οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση. Θα μπορούσαμε πχ να θέλουμε κάτι τέτοιο:

\[[giatroi]=\alpha+\beta\cdot\log([nosok])\]

Τοιαύτη περιπτώσει θα μπορούσαμε να γράψουμε:

lm(giatroi ~ I(log(nosok)))

## 
## Call:
## lm(formula = giatroi ~ I(log(nosok)))
## 
## Coefficients:
##   (Intercept)  I(log(nosok))  
##        1.3053         0.8884

Από την παραπάνω απάντηση συμπεραίνουμε:

\(\alpha=1.3053\)
\(\beta=0.8884\) Επομένως:

\[[giatroi]=1.3053+0.8884\cdot\log([nosok])\]

Τέλος, σχεδιάζουμε την εν λόγω καμπύλη γράφοντας:

DocNurcPl + geom_point() + geom_smooth(method = lm, formula = y ~ I(log(x)))

2 Τοπική παλινδρόμηση

Είδαμε ότι είναι πολύ χρήσιμο να έχουμε μια καμπύλη που να προσεγγίζει καλά τα σημεία του διαγράμματος διασποράς. Είδαμε επίσης ότι όσο περισσότερο ρίχνουμε τις προσδοκίες μας όσον αφορά την απλότητα του τύπου της καμπύλης, τόσο περισσότερο μπορούμε να κερδίζουμε μια καμπύλη που να αναπαριστά πιστότερα τα σημεία του διαγράμματος διασποράς. Αν ρίξουμε εντελώς τις προσδοκίες μας, ως προς τον διαθέσιμο τύπο της καμπύλης, τότε έχουμε μια ακόμα πιστότερη καμπύλη, την τοπική παλινδρόμηση.

Για να σχεδιάσουμε την τοπική παλινδρόμηση θα χρειαστούμε πάλι το πακέτο ggplot2, οπότε γράφουμε:

DocNurcPl + geom_point() + geom_smooth()

## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula = 'y ~ x'

Εν προκειμένω δεν έχουμε συγκεκριμένο τύπο για την καμπύλη αυτή. Φυσικά, έχουμε κάθε δικαίωμα να υποψιαστούμε τη μορφή της συνάρτησης και μετά να χρησιμοποιήσουμε όσα μάθαμε στην ενότητα Πολυωνυμική και άλλων συναρτήσεων παλινδρόμηση.

Συνολικά γράψαμε τον κώδικα αυτόν:

rm(list = ls())
DocNurc <- merge(doctorsPer1000,nurcesPer1000,by=c("LOCATION","TIME"))
giatroi <- DocNurc$Value.x
nosok <- DocNurc$Value.y
lm(giatroi ~ nosok + I(nosok^2) + I(nosok^3)+I(nosok^4))
if(!require(ggplot2)){
    install.packages("ggplot2")
    library(ggplot2)
}
DocNurcPl <- ggplot(DocNurc, aes(x = Value.y, y = Value.x))
DocNurcPl + geom_point() + geom_smooth(method = lm, formula = y ~ x+I(x^2)+I(x^3)+I(x^4))
lm(giatroi ~ I(log(nosok)))
DocNurcPl + geom_point() + geom_smooth(method = lm, formula = y ~ I(log(x)))
DocNurcPl + geom_point() + geom_smooth()

Καμπύλες παλινδρόμησης

Κώστας Κούδας

2025-08-25

1 Πολυωνυμική και άλλων συναρτήσεων παλινδρόμηση

2 Τοπική παλινδρόμηση