Ας πάρουμε τώρα τις βαθμολογίες των φοιτητών του ΕΜΠ στο μάθημα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική κατά την εξεταστική του Φεβρουαρίου του 2013 που αναφέραμε στην ενότητα Συχνότητες, αφού πρώτα διαγράψαμε ό,τι είχαμε εισάγει μέχρι τώρα στην R:
| AM…1 | BATHMOS…2 | AM…3 | BATHMOS…4 | AM…5 | BATHMOS…6 | AM…7 | BATHMOS…8 | AM…9 | BATHMOS…10 | AM…11 | BATHMOS…12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3094673 | 1 | 3108086 | 7 | 3110073 | 1 | 3110812 | 5 | 3111088 | 6 | 3111192 | 5 |
| 3098622 | 1 | 3108098 | 1 | 3110075 | 5 | 3111002 | 4 | 3111089 | 5 | 3111193 | 5 |
| 3100689 | 1 | 3108120 | 5 | 3110087 | 2 | 3111003 | 8 | 3111090 | 9 | 3111194 | 1 |
| 3102688 | 5 | 3108144 | 6 | 3110088 | 8 | 3111004 | 9 | 3111091 | 8 | 3111196 | 2 |
| 3103156 | 2 | 3108184 | 1 | 3110089 | 6 | 3111005 | 10 | 3111092 | 8 | 3111198 | 6 |
| 3103626 | 1 | 3108191 | 1 | 3110089 | 6 | 3111006 | 9 | 3111095 | 6 | 3111202 | 7 |
| 3103683 | 2 | 3108203 | 6 | 3110093 | 3 | 3111007 | 6 | 3111096 | 3 | 3111204 | 1 |
| 3103784 | 2 | 3108217 | 1 | 3110095 | 7 | 3111008 | 2 | 3111098 | 2 | 3111205 | 1 |
| 3104616 | 5 | 3108608 | 3 | 3110101 | 5 | 3111010 | 6 | 3111099 | 6 | 3111207 | 7 |
| 3104654 | 4 | 3108636 | 3 | 3110112 | 5 | 3111011 | 7 | 3111101 | 6 | 3111403 | 5 |
| 3104660 | 5 | 3108644 | 4 | 3110115 | 5 | 3111012 | 9 | 3111103 | 3 | 3111409 | 2 |
| 3104673 | 5 | 3108659 | 5 | 3110129 | 3 | 3111013 | 8 | 3111104 | 8 | 3111416 | 7 |
| 3104694 | 1 | 3108719 | 5 | 3110130 | 7 | 3111014 | 5 | 3111107 | 6 | 3111417 | 6 |
| 3104732 | 6 | 3108720 | 3 | 3110136 | 6 | 3111015 | 6 | 3111109 | 7 | 3111418 | 2 |
| 3104740 | 3 | 3108726 | 6 | 3110137 | 3 | 3111016 | 8 | 3111112 | 6 | 3111420 | 1 |
| 3104775 | 6 | 3108727 | 1 | 3110147 | 4 | 3111017 | 5 | 3111113 | 9 | 3111423 | 2 |
| 3105055 | 6 | 3108771 | 3 | 3110158 | 3 | 3111018 | 6 | 3111114 | 8 | 3111424 | 5 |
| 3105071 | 4 | 3108784 | 1 | 3110164 | 6 | 3111019 | 6 | 3111115 | 5 | 3111428 | 1 |
| 3105149 | 5 | 3108798 | 8 | 3110188 | 6 | 3111020 | 3 | 3111116 | 5 | 3111501 | 5 |
| 3105182 | 2 | 3109028 | 5 | 3110197 | 1 | 3111021 | 6 | 3111117 | 2 | 3111506 | 3 |
| 3105184 | 8 | 3109043 | 3 | 3110201 | 2 | 3111023 | 10 | 3111119 | 1 | 3111507 | 3 |
| 3105218 | 6 | 3109054 | 4 | 3110209 | 3 | 3111024 | 2 | 3111121 | 4 | 3111508 | 1 |
| 3105637 | 5 | 3109072 | 2 | 3110401 | 7 | 3111025 | 8 | 3111122 | 6 | 3111509 | 2 |
| 3105645 | 6 | 3109079 | 2 | 3110417 | 5 | 3111026 | 8 | 3111123 | 6 | 3111511 | 1 |
| 3105647 | 3 | 3109127 | 5 | 3110623 | 2 | 3111027 | 7 | 3111125 | 7 | 3111517 | 4 |
| 3105654 | 3 | 3109130 | 1 | 3110630 | 2 | 3111028 | 2 | 3111126 | 4 | 3111526 | 1 |
| 3105671 | 2 | 3109147 | 1 | 3110657 | 4 | 3111029 | 9 | 3111128 | 8 | 3111551 | 6 |
| 3105710 | 5 | 3109173 | 1 | 3110659 | 3 | 3111031 | 2 | 3111129 | 5 | 3111555 | 5 |
| 3105730 | 5 | 3109189 | 5 | 3110661 | 5 | 3111032 | 8 | 3111131 | 10 | 3111556 | 7 |
| 3105737 | 7 | 3109196 | 5 | 3110671 | 6 | 3111033 | 4 | 3111132 | 1 | 3111559 | 4 |
| 3105742 | 4 | 3109218 | 1 | 3110678 | 6 | 3111034 | 5 | 3111134 | 7 | 3111560 | 3 |
| 3105774 | 5 | 3109603 | 2 | 3110680 | 4 | 3111035 | 1 | 3111135 | 5 | 3111561 | 4 |
| 3105786 | 3 | 3109617 | 4 | 3110688 | 3 | 3111036 | 9 | 3111138 | 1 | 3111566 | 1 |
| 3106091 | 2 | 3109630 | 1 | 3110689 | 1 | 3111038 | 4 | 3111141 | 1 | 3111569 | 5 |
| 3106092 | 5 | 3109631 | 5 | 3110692 | 5 | 3111040 | 1 | 3111142 | 1 | 3111572 | 2 |
| 3106126 | 5 | 3109648 | 5 | 3110693 | 1 | 3111042 | 2 | 3111143 | 7 | 3111573 | 5 |
| 3106130 | 6 | 3109650 | 6 | 3110697 | 1 | 3111045 | 8 | 3111147 | 4 | 3111574 | 1 |
| 3106160 | 5 | 3109664 | 6 | 3110698 | 4 | 3111046 | 7 | 3111148 | 4 | 3111575 | 1 |
| 3106175 | 9 | 3109665 | 1 | 3110704 | 2 | 3111047 | 6 | 3111149 | 4 | 3111576 | 5 |
| 3106227 | 3 | 3109671 | 6 | 3110707 | 4 | 3111049 | 3 | 3111151 | 7 | 3111602 | 3 |
| 3106628 | 6 | 3109683 | 1 | 3110708 | 4 | 3111050 | 5 | 3111152 | 8 | 3111610 | 5 |
| 3106649 | 1 | 3109698 | 2 | 3110709 | 6 | 3111051 | 5 | 3111153 | 10 | 3111614 | 3 |
| 3106686 | 1 | 3109701 | 5 | 3110712 | 4 | 3111053 | 3 | 3111154 | 3 | 3111620 | 4 |
| 3106702 | 4 | 3109715 | 6 | 3110716 | 1 | 3111054 | 4 | 3111155 | 4 | 3111701 | 7 |
| 3106708 | 5 | 3109724 | 3 | 3110719 | 4 | 3111055 | 5 | 3111156 | 6 | 3111712 | 5 |
| 3106736 | 3 | 3109735 | 2 | 3110725 | 2 | 3111056 | 1 | 3111157 | 1 | 3111714 | 6 |
| 3106762 | 2 | 3109737 | 5 | 3110726 | 6 | 3111059 | 3 | 3111159 | 1 | 3111717 | 2 |
| 3106780 | 5 | 3109746 | 2 | 3110741 | 5 | 3111060 | 3 | 3111161 | 1 | 3111718 | 8 |
| 3106800 | 1 | 3109751 | 6 | 3110742 | 1 | 3111064 | 9 | 3111162 | 1 | 3111720 | 8 |
| 3106802 | 4 | 3109761 | 1 | 3110743 | 4 | 3111065 | 8 | 3111163 | 5 | 3111722 | 8 |
| 3107058 | 1 | 3109775 | 3 | 3110744 | 6 | 3111068 | 7 | 3111165 | 3 | 3111724 | 6 |
| 3107111 | 5 | 3109789 | 1 | 3110747 | 5 | 3111069 | 6 | 3111169 | 2 | 3111727 | 9 |
| 3107182 | 5 | 3109801 | 5 | 3110750 | 3 | 3111072 | 4 | 3111171 | 4 | 3111731 | 5 |
| 3107196 | 2 | 3110003 | 6 | 3110753 | 5 | 3111073 | 2 | 3111172 | 1 | 3111739 | 2 |
| 3107219 | 5 | 3110006 | 5 | 3110757 | 3 | 3111074 | 7 | 3111173 | 4 | 3111743 | 1 |
| 3107229 | 1 | 3110021 | 3 | 3110764 | 1 | 3111076 | 8 | 3111174 | 4 | 3111901 | 7 |
| 3107632 | 5 | 3110024 | 5 | 3110775 | 4 | 3111077 | 3 | 3111178 | 2 | 3111904 | 5 |
| 3107639 | 5 | 3110033 | 6 | 3110777 | 5 | 3111078 | 6 | 3111181 | 6 | 3111907 | 4 |
| 3107650 | 1 | 3110045 | 5 | 3110781 | 6 | 3111080 | 6 | 3111185 | 3 | 3112602 | 7 |
| 3107730 | 1 | 3110049 | 1 | 3110783 | 6 | 3111081 | 6 | 3111186 | 4 | NA | NA |
| 3107754 | 5 | 3110057 | 5 | 3110787 | 4 | 3111082 | 3 | 3111187 | 3 | NA | NA |
| 3107762 | 7 | 3110063 | 4 | 3110788 | 4 | 3111083 | 4 | 3111189 | 7 | NA | NA |
| 3107779 | 5 | 3110069 | 1 | 3110795 | 6 | 3111084 | 5 | 3111190 | 2 | NA | NA |
| 3107790 | 5 | 3110072 | 4 | 3110807 | 3 | 3111087 | 5 | 3111191 | 3 | NA | NA |
Αρχικά, όπως και τότε, κρατάμε από τον πίνακα τις βαθμολογίες και
απορρίπτουμε τους Αριθμούς Μητρώου και τα NA:
bathmoi_synolo <- c(bathmoi$BATHMOS...2,
bathmoi$BATHMOS...4,
bathmoi$BATHMOS...6,
bathmoi$BATHMOS...8,
bathmoi$BATHMOS...10,
bathmoi$BATHMOS...12)
bathmoi_synolo <- na.omit(bathmoi_synolo)Ακολούθως, η μέση τιμή αυτού του δείγματος θα υπολογιστεί γράφοντας:
## [1] 4.295515Βρίσκουμε ότι αυτή είναι 4.2955145. Θα είχε ενδιαφέρον να γνωρίζουμε τη μέση τιμή των βαθμολογιών στο μάθημα αυτό σε περισσότερες εξεταστικές, πχ σε βάθος δεκαετίας. Δηλαδή πλέον η μέση τιμή 4.2955145 είναι δειγματική μέση τιμή και ψάχνουμε την πληθυσμιακή μέση τιμή όλων των εξεταστικών της δεκαετίας. Θα προσπαθήσουμε να εκτιμήσουμε την πληθυσμιακή μέση τιμή, οπότε θέλουμε να βρούμε πόσο σίγουροι μπορούμε να είμαστε για το ότι αυτή θα απέχει το πολύ π.χ. μισή μονάδα από την δειγματική μέση τιμή που βρήκαμε.
Προς τούτο θα χρειαστούμε την τυπική απόκλιση του δείγματος των βαθμολογών. Λογικό αυτό, καθόσον αυτή μάς δείχνει πόσο απλωμένες είναι οι βαθμολογίες ή, με άλλα λόγια, πόσο συγκεντρωμένες είναι αυτές γύρω από τη μέση τιμή.
## [1] 2.283424Οπότε βρίσκουμε 2.2834245. Πάμε τώρα να βρούμε πόσο πιθανό είναι να
απέχει η πληθυσμιακή μέση τιμή από την 2.2834245 το πολύ 0.5. Γι’ αυτό
το σκοπό θα φτιάξουμε μια συνάρτηση που κάνει αυτή τη δουλειά. Η
συνάρτηση αυτή θα ονοματιστεί:
EpipEmpist(💞💞💞, 👨👨👨, 🚂🚂🚂).
Στη θέση του 💞💞💞 γράφουμε την τυπική απόκλιση που
βρήκαμε,
στη θέση του 👨👨👨 γράφουμε το πλήθος των τιμών
(των βαθμών, δηλαδή, εν προκειμένω) και
στη θέση του 🚂🚂🚂 γράφουμε την απόσταση που
θέλουμε να δούμε αν απέχει η πληθυσμιακή μέση τιμή από τη δειγματική
(εδώ αυτή, όπως είπαμε, είναι 0,5).
Έχουμε λοιπόν:
EpipEmpist <- function(tipiki_apokl, plithos, apost) {
s <- tipiki_apokl/sqrt(plithos)
2*pt(apost/s, plithos-1)-1
}Ακολούθως, γράφοντας:
## [1] 379βρίσκουμε ότι το πλήθος των βαθμολογιών της εξεταστικής του 2013 είναι 379. Έτσι με την εντολή:
## [1] 0.9999921εξάγεται απάντηση 0.9999921. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να είμαστε 99.99% σίγουροι ότι γενικώς κατά τις εξεταστικές περιόδους η μέση βαθμολογία στο μάθημα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική θα απέχει ±0.5 από τη μέση βαθμολογία του δείγματος, δηλαδή την 4.2955145.
Θα πάρουμε και πάλι τις βαθμολογίες των φοιτητών του ΕΜΠ στο μάθημα Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική κατά την εξεταστική του Φεβρουαρίου του 2013.
Αυτή τη φορά όμως θα το πάρουμε ανάποδα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να είμαστε 95% σίγουροι για τη γνωμάτευση που θέλουμε να κάνουμε για τους βαθμούς του εν λόγω μαθήματος σε όλη τη δεκαετία. Ψάχνουμε, λοιπόν, να βρούμε δύο αριθμούς ανάμεσα στους οποίους να είναι κατά 95% πιθανό ότι βρίσκεται η μέση τιμή όλων των βαθμολογιών της δεκαετίας στο μάθημα αυτό.
Βρήκαμε πριν ότι η μέση τιμή είναι 4.2955145 και ότι η τυπική
απόκλιση είναι 2.2834245. Επίσης είπαμε ότι έχουμε 379 βαθμολογίες. Η
δουλειά που θέλαμε θα γίνει μέσω μιας συνάρτησης που θα φτιάξουμε, της
DiastEmpist(🔪🔪🔪,💞💞💞,👨👨👨,🎲🎲🎲).
Στη θέση του 🔪🔪🔪 γράφουμε τη μέση τιμή του
δείγματος,
στη θέση του 💞💞💞 γράφουμε τη δειγματική τυπική
απόκλιση,
στη θέση του 👨👨👨 θα πάει το πλήθος των τιμών
και
στη θέση του 🎲🎲🎲 θα πάει η σιγουριά που θέλουμε
να έχουμε.
Η συνάρτησή μας είναι λοιπόν η:
DiastEmpist <- function(mesi_timi, tipiki_apokl, plithos, pith) {
s <- tipiki_apokl/sqrt(plithos)
a <- (1-pith)/2
t <- qt(a, plithos-1, lower.tail=F)
m1 <- mesi_timi-t*s
m2 <- mesi_timi+t*s
c(m1, m2)
}Οπότε γράφουμε:
## [1] 4.064889 4.526141Τι σημαίνει η παραπάνω απάντηση; Σημαίνει ότι μπορούμε να είμαστε κατά 95% σίγουροι ότι η μέση τιμή των βαθμολογιών στο μάθημα αυτό σε όλη τη δεκαετία θα είναι μεταξύ των αριθμών 4.0648892 και 4.5261408.
Ο κώδικας που χρησιμοποιήσαμε ήταν συνολικά ο κάτωθι:
rm(list = ls())
bathmoi_synolo <- c(bathmoi$BATHMOS...2,
bathmoi$BATHMOS...4,
bathmoi$BATHMOS...6,
bathmoi$BATHMOS...8,
bathmoi$BATHMOS...10,
bathmoi$BATHMOS...12)
bathmoi_synolo <- na.omit(bathmoi_synolo)
mean(bathmoi_synolo)
sd(bathmoi_synolo)
EpipEmpist <- function(tipiki_apokl, plithos, apost) {
s <- tipiki_apokl/sqrt(plithos)
2*pt(apost/s,plithos-1)-1
}
length(bathmoi_synolo)
EpipEmpist(2.148323, 379, 0.5)
DiastEmpist <- function(mesi_timi, tipiki_apokl, plithos, pith) {
s <- tipiki_apokl/sqrt(plithos)
a <- (1-pith)/2
t <- qt(a, plithos-1, lower.tail=F)
m1 <- mesi_timi-t*s
m2 <- mesi_timi+t*s
c(m1, m2)
}
DiastEmpist(4.295515, 2.283424, 379, 0.95)